Matematika Ekonomi

Penerapan Fungsi Linier dalam Ekonomi

     Penerapan fungsi dalam ekonomi dan bisnis merupakan salah satu bagian yang sangat penting untuk dipelajari, karena model-model ekonomi yang berbentuk matematika biasanya dinyatakan dengan fungsi. Fungsi dalam matematika menyatakan suatu hubungan formal di antara dua himpunan data. Jika himpunan data tersebut adalah variabel, maka fungsi dapat dikatakan sebagai hubungan antara dua variabel.F

     Fungsi adalah Suatu bentuk matematis yang menyata kan hubungan ketergantungan (hubungan fungsional) antara satu variabel dengan variabel lainnya. Unsur-unsur pembentuk fungsi adalah variabel, koefisien, dan konstanta.

Variabel adalah unsur yang sifatnya berubah-ubah dari satu keadaan ke keadaan lainnya. Variabel dapat dibedakan menjadi variabel bebas dan variabel terikat. Variabel bebas : variabel yang menjelaskan variabel lainnya.  Adapun Variabel terikat adalah variabel yang diterangkan oleh variabel bebas.

     Koefisien adalah bilangan atau angka yang diletakkan tepat di depan suatu variabel, terkait dengan variabel yang bersangkutan.

Konstanta sifatnya tetap dan tidak terkait dengan suatu variabel apapun.

Contoh:  y = 0,8x + 5

Keterangan:

x = Variabel bebas (Independent variabel) adalah variabel yang nilainya tidak tergantung pada variabel lain.

y = Variabel terikat (Dependent variabel) adalah variabel yang nilainya tergantung pada variabel lain.

0,8 = adalah koefisien variabel x

5 = adalah konstanta

Pengertian Fungsi Linier

Fungsi Linier adalah fungsi Polinom yang variabel bebasnya memiliki pangkat paling tinggi adalah satu. Dikatakan fungsi linier apabila variabel xdan y dalam persamaan tersebut mempunyai pangkat satu (sehingga x1= x ) dan y1= y). Oleh karena itu fungsi linier sering disebut dengan persamaan garis lurus (pgl) dengan bentuk umumnya adalah sebagai barikut:

Bentuk umum fungsi linier 2 variabel (x & y)

y = a0 + a1x

Dimana :

a0 konstanta, nilainya positif, negatif, atau nol

a1 koefisien, nilainya positif, negatif, atau nol

Contoh : y = 4 + 2x

f : x → mx + c atau f(x) = mx + c atau y = mx + c

m adalah gradien / kemiringan / kecondongan = 2

c adalah konstanta = 4

Contoh lain fungsi linier:

y =2x+5

y=-3x+2

Didalam menyelesaikan persoalan fungsi linier ada dua cara yang perlu diketahui, yaitu:

Membuat kurva fungsi linier

Adapaun cara membuat kurva liner antaralain:

Dengan cara sederhana (curve traicing process) Yaitu dengan menggunakan tabel x dan y, dimana kita tentukan dulu nilai x sebagai variabel bebas, maka dengan memasukkan beberapa nilai x kita akan memperoleh nilai y.

Misalkan : y = 4 + 2x

Lalu titik-titik dalam tabel tersebut ditandai dan dihubungkan menghasilkan garis seperti dalam kurva berikut ini:

Dengan cara matematis (menggunakan ciri-ciri yang penting)

Yaitu dengan mencari titik potong untuk sumbu x dan juga sumbu y.

Langkah-langkah membuat grafik fungsi linier dengan cara matematis:

Tentukan titik potong dengan sumbu x, y = 0 diperoleh koordinat A( x1, 0)

Tentukan titik potong dengan sumbu y, x = 0 diperoleh koordinat B( 0, y1)

Hubungkan dua titik A dan B sehingga terbentuk garis lurus.

Bentuk Kurva Suatu Fungsi

Persamaan linier juga dapat ditulis ditulis dengan simbol y = ax + b (ini untuk mempermudah dalam memahami gambar)

Jika a bernilai positif : fungsi linier digambarkan garis dari kiri bawah ke kanan atas

Jika a bernilai negatif : fungsi linier digambarkan garis dari kiri atas ke kanan bawah

Jika a bernilai nol :digambarkan garis yg sejajar dengan sumbu datar x

Gradien dan Persamaan garis lurus

Gradien adalah koefisien yang menentukan arah garis  fungsi linier, biasanya koefisien ini melekat pada variabel X (sisi vertikal)/(sisi horizontal).Jika gambar kurva bergerak dari kiri atas ke kanan bawah maka nilai gradiennya negatif dan juga sebaliknya.

Hubungan dua garis lurus Dua garis lurus yang sejajar Sejajar kan terjadi ketika dua buah garis akan sejajar apabila kemiringan garis yang satu sama dengan kemiringan garis yang lain (m1 = m2).

Dua garis lurus yang berhimpit Berimpit akan terjadi ketika dua buah garis akan berimpit apabila persamaan garis yang satu merupakan kelipatan dari (proporsional terhadap) persamaan garis yang lain. y1 = mx1+ b1 akan berimpit dengan y2 = mx2+ b2 , jika y1 = ny2 ; a1 = na2 ; b1 = nb2.

Dua garis lurus yang berpotongan

Berpotongan, dua buah garis akan berpotongan apabila kemiringan garis yang satu tidak sama dengan kemiringan garis yang lain (m1 ≠ m2).

Untuk fungsi linier yang saling berpotongan, maka untuk mencari titik potongnya dapat dilakukan dengan cara :

Metode Grafik

Metode Subtitusi 

Metode Eliminasi 

Metode Campuran

Dua garis lurus yang tegak lurus

Tegak lurus (termasuk garis lurus berpotongan) akan terjadi saat dua garis akan saling tegak lurus apabila kemiringan garis yang satu merupakan kebalikan dari kemiringan garis yang lain dengan tanda yang berlawanan  (m1 = – 1/m2). Atau nilai perkalian kemiringannya menghasilkan nilai –1 (m1 ⨉ m2 = -1).

Penggunaan Fungsi Linear dalam Ekonomi

Penerapan suatu fungsi dalam ekonomi sangatlah banyak entah itu fungsi linier maupun non-linier. Fungsi linier sering dijumpai dalam suatu analisa yang membutuhkan suatu kurva. Oleh karena itu materi fungsi khususnya fungsi linier wajib untuk dikuasai. Berikut ini adalah beberapa contoh penerapan fungsi linier di bidang ekonomi:

Penerapan Fungsi Linier Pada Fungsi Permintaan (Demand Function)

Fungsi Permintaan menunjukkan hubungan antara harga dengan jumlah barang yang diminta oleh konsumen dengan anggapan bahwa faktor-faktor lain tetap (ceteris paribus), yaitu selera tetap, pendapatan tetap dan harga barang-barang lain tetap, maka ini menandakan bahwa apabila harga turun jumlah barang yang diminta oleh konsumen naik, demikian pula ssebaliknya .

Pada saat harga turun P1 ke P2, maka permintaan naik dari Q1 ke Q2

Pada saat harga naik P1 ke P3, maka per mintaan  turun dari Q1 ke Q3

Bentuk Umum Fungsi Permintaan :

Q = a – bP  atau

Dalam bentuk persamaan diatas terlihat bahwa variable P (price, harga) dan variable Q (quantity, jumlah) mempunyai tanda yang berlawanan. Ini mencerminkan, hukum permintaan yaitu apabila harga naikl jumlah yang diminta akan berkurang dan apabila harga turun jumlah yang diminta akan bertambah.

Contoh:

Diketahui bahwa permintaan suatu barang apabila harga jualnya Rp 160 jumlah barang yang diminta konsumen sebanyak 20 buah, sedangkan apabila harga jualnya diturunkan menjadi Rp. 120, maka jumlah barang yang diminta sebanyak 40 buah. Tentukan :

bagaimanakah fungsi permintaannya ?

apabila barang tersebut dibagi secara gratiskepada   konsumen, berapa jumlah barang tersebut yang diminta ?

berapa harga maksimum barang tersebut sehingga tidak ada yang membelinya?

Penyelesaian :

dik : P1 = 160 ; P2 = 120 ; Q1 = 20 ; Q2 = 40

apabila dibagi secara gratis, maka P = 0

P = -2Q + 200

0 = -2Q + 200

2Q = 200

Q = 100

apabila barang tersebut tidak ada yang membeli (Q = 0) maka harga maksimum :

P = -2Q + 200

P = -2 (0) + 200

P = 200

Harga max Rp. 200

Penerapan Fungsi Linier Pada Fungsi Penawaran (Supply Function)

Fungsi Penawaran menunjukkan hubungan antara harga dengan jumlah barang yang ditawarkan kepada konsumen, dengan anggapan faktor-faktor lain tetap (ceteris paribus). Maka apabila tingkat harga meningkat, jumlah barang yang ditawarkan bertambah, demikian pula sebaliknya.

Pa → Pc : Jumlah barang yang ditawarkan naik  Qa → Qc

Pa → Pb : Jumlah barang yang ditawarkan turun  Qa → Qb

Bentuk Umum :

Q = -a + bP  atau

Dalam bentuk persamaan diatas terlihat bahwa variable P (price, harga) dan variable Q (quantity, jumlah) mempunyai tanda yang sama, yaitu sama-sama positif. Ini mencerminkan,

hukum penawaran yaitu apabila harga naik jumlah yang ditawarkan akan bertambah dan apabila harga turun jumlah yang ditawarkan akan berkurang.

Contoh :

Sebuah perusahaan konveksi menjual salah satu produknya sebanyak 500 unit dengan harga Rp 1000 perunit. Apabila harganya naik menjadi Rp. 1.200 perunit, maka jumlah barang yang ditawarkan menjadi 900 unit. Tentukan bagaimana fungsi penawarannya? 

Penyelesaian :

Persamaan fungsi penawaran.

dik : P1 = 1000 ; P2 = 1200 ; Q1 = 500 ; Q2 = 900

Penerapan Fungsi Linier Pada Market Equilibrium (Keseimbangan Pasar)

Pasar suatu jenis barang dikatakan berada dalam keseimbangan apabila jumlah barang yang diminta dipasar tersebut sama dengan jumlah barang yang ditawarkan. Secara matematik dan grafik hal ini ditunjukkan oleh persamaan :

Pasar suatu macam barang dikatakan berada dalam keseimbangan (equilibrium) apabila jumlah barang yang diminta di pasar tersebut sama dengan jumlah barang yang ditawarkan.

Syarat Keseimbangan Pasar  :

Qd = Qs

Qd = jumlah permintaan

Qs = jumlah penawaran

E    = titik keseimbangan

Pe = harga keseimbangan

Qe = jumlah keseimbangan

Contoh Soal  :

Fungsi permintaan ditunjukan oleh persamaan Qd = 10 – 5P dan fungsi penawarannya  adalah Qs=  – 4 + 9P

a.  Berapakah harga dan jumlah keseimbangan yang tercipta di pasar ?

b.  Tunjukkan secara geometri !

Jawab  :

a.)  Keseimbangan pasar :

Qd =  Qs

10 – 5 P =  – 4 + 9P

14P       =     14

P       =      1  ≡  Pe

Q    =  10 – 5P

Q     =  5      ≡ Qe

b.) Harga dan jumlah keseimbangan pasar adalah E ( 5,1 )

Penerapan Fungsi Linier Pada Pajak

Pajak adalah jenis pungutan yang dilakukan pemerintah terhadap produsen/penjual sehingga beban pajak akan menambah besarnya biaya yang harus dipikul oleh produsen/penjual. Akibatnya harga yang ditawarkan akan naik, kenaikannya sebesar pajak yang dibebankan. Ada dua macam pajak, antara lain:

Pajak Perunit

Pajak per unit adalah pajak yang dikenakan terhadap suatu barang yang besarnya tetap untuk setiap unit barang.

Fungsi sebelum pajak : FS → P = aQ + b

Fungsi setelah pajak : FSt → P = (aQ + b) + t

Pajak yang ditanggung konsumen: (Pt – P) Qt

Pajak yang ditanggung produsen: (Qt .t)- (Pt – P) Qt

Pajak yang diterima pemerintah: Qt.t

Contoh: 
Fungsi permintaan ditunjukkan dengan P = 50–2Q, dan fungsi penawaran ditunjukkan dengan P = -30 + 2 Q. Terhadap barang tersebut dikenakan pajak sebesar Rp 10,00 per unit. Tentukan Titik keseimbangan pasar setelah pajak.

Pembahasan:   

Penawaransesudahpajak:     P = -30 + 2 Q + 10

P = - 20 + 2 Q

Sedangkanpersamaanpermintaantetap.

Keseimbanganpasarsetelahpajak

Pd = Ps

50 – 2Q  =  -20 + 2 Q

   -4 Q  =  -70

 Q  =  17,5

Jika Q = 17,5maka P = 50 – 2 (17,5)

 P = 15

Jadikeseimbangansetelahpajakadalah P = 15 dan Q = 17,5

Penerapan Fungsi Linier pada Subsidi

Subsidi merupakan kebalikan dari pajak, pengaruhnya  terhadap keseimbangan pasar berbalikan dengan pengaruh pajak. Subsidi yang diberikan atas produksi/penjualan suatu barang menyebabkan harga jual barang tersebut menjadi rendah. Dengan adanya subsidi, produsen merasa  ongkos produksinya menjadi lebih kecil sehingga bersedia menjual lebih  murah.

Fungsi sebelum subsidi : FS → P = aQ + b

Fungsi setelah subsidi : FSs → P = aQ + b – S

SubsidiPer Unit

Subsidi per unit diberi lambang “s”, apabila pemerintah memberikan subsidi sebesar s per unit barang pada suatu perusahaan, maka beban produsen akan berkurang sehingga harga dapat diturunkan.

Permintaan pembeli hanya tergantung dari harga saja, sehingga fungsi permintaannya tetap. Sedangkan penjual/produsen akan menyesuaikan fungsi penawarannya, sehingga fungsi penawarannya berubah. Secara matematis dapat dirumuskan sebagai berikut:

Fungsi penawaran sebelum subsidi: P = f(Q)

Fungsi penawaran setelah subsidi: P1 = f(Q)-s

Karena harga per unit turun, maka harga keseimbangan pasar yang baru menjadi lebih rendah dari semula, sedangkan jumlah/kuantitas keseimbangan pasar menjadi lebih tinggi. Ini berarti grafik fungsi penawaran bergeser ke bawah sejauh s per unit, dan grafik fungsi permintaannya tetap.

Contoh:   Fungsi permintaan ditunjukkan dengan P = 50 – 2Q, dan fungsi penawaran ditunjukkan dengan P = -30 + 2 Q. Terhadap barang tersebut Pemeintah memberi subsidi Rp 10,00 per unit. Tentukan Titik keseimbangan pasar setelah subsidi?

Pembahasan:

Penawaran tanpa subsidi:        P = -30 + 2 Q

Penawaran dengan subsidi:     P = -30 + 2 Q – 10

P = -40 + 2 Q

Karena persamaan permintaannya tetap, maka keseimbangan setelah subsid iadalah

50 – 2Q  =   -40 + 2 Q

   -4 Q    =    -90

   Q  = 22,5

Jika Q = 22,5maka P = 50 – 2 (22,5) = 5 

Jadi keseimbangan setelah subsidi adalah: P = 5 dan Q = 22,5